3.4 delta机器人关节空间轨迹规划法
研究发现，在机器人的轨迹规划中加入动力学模型进行轨迹优化，得到的运动控制 拟合曲线能够极大地提高机器人的运行速度和稳定性。由于运动学与动力学模型相结合 的轨迹规划是基于理想系统模型的分析，所以不会增加系统的硬件成本，它是快速、高 效提高系统性能的一个有效手段，在delta机器人的轨迹规划中，将会把动力学模型加 入到轨迹规划中来。
具体实现如下：
建立系统的运动学模型和动力学模型；
根据delta机器人的运行轨迹要求进行轨迹规划；
针对优化目标（运行速度、关键部件受力等）实现轨迹优化。
3.4.1工作空间关键点的选取
在delta机器人的运行过程中，不仅要抓取和释放物体，还要避开障碍物。为了实 现抓取、释放以及中间转运阶段中，物体始终保持在末端执行器上，抓取和释放物体阶 段要保证末端执行器平稳，对于delta机器人而言，要尽量减小末端执行器水平方向的 抖动，并且在竖直方向应实现平稳的加减速；在中间转运阶段中，应增大末端执行器的 拐弯半径，并且在水平拟合曲线段，应尽量减小竖直方向的抖动，水平加减速应平稳。这样就必须确定物体抓取、释放的位置以及末端执行器经过的空间轨迹关键点。
在关节空间的轨迹规划中，分别选取了 8、9、11个工作空间关键点，由8、11个工 作空间关键点拟合得到的工作空间内的拟合曲线如图3-9所示。如图可知，由8个工作 空间关键点拟合得到的工作空间内的拟合曲线有较大的拐弯半径，中间转运阶段拟合曲 线竖直方向抖动较小，但抓取和释放物体时水平方向的抖动较大，可能会引起抓取和释 放物体位置不准确以及抓取和释放过程中物体抖动，抖动较大时物体甚至脱离末端执行 器。观察发现，在8个工作空间关键点的竖直抓取和释放阶段中，拥有3个工作空间关 键点的竖直方向的拟合曲线比拥有2个工作空间关键点的竖直方向的拟合曲线水平方 向的抖动更小，由此，得到了 3个工作空间关键点确定一条抖动较小的直线段的结论。 为了改善8个工作空间关键点存在的缺点，采用9个工作空间关键点进行曲线拟合，由 得到的工作空间的拟合曲线知（图中未表示），由9个工作空间关键点拟合得到的工作 空间内的拟合曲线水平方向的抖动较8个工作空间关键点拟合得到的工作空间内的拟 合曲线水平方向的抖动有所减小，同时，中间转运阶段拟合曲线竖直方向抖动也有所较 小，但拐弯半径也较小，拐弯过程没有较好的曲线过渡，这将会使得末端执行器拐弯困 难，过于刚性的拐弯会引起对机构的冲击，减少机器人的使用寿命，并可能会导致被抓 取物体的破坏或脱落。
因此，在抓取和释放物体的竖直直线段部分和中间转运阶段的水平直线段部分各选取3个工作空间关键点，为了增加末端执行器的拐弯半径，在两个拐弯处各添加1个拐弯半径控制关键点，这样就得到了由11个工作空间关键点拟合得到的工作空间内的拟合曲线。调节这2个工作空间拐弯半径控制关键点的位置，不仅可以增加或减小末端执行器的拐弯半径，还可以增加或减小抓取和释放物体阶段末端执行器的水平方向的抖动，于此同时，减小或增加中间位置竖直方向的抖动。根据delta机器人的工作需求，应适 量增加末端执行器的拐弯半径，与此同时，减小抓取和释放物体时末端执行器的水平方 向的抖动。在图3-9中，由11个工作空间关键点的拟合曲线可知，末端执行器在抓取和 释放物体的竖直拟合曲线段水平方向的抖动较小，在中间转运拟合曲线段竖直方向稍有 抖动，两个拐弯半径较大。可知，利用11个工作空间关键点得到的控制拟合曲线具有 良好的物体抓取和释放性能以及中间转运性能。
3.4.2关节空间运动学五次样条函数模型
由以上分析可知，五次样条函数可以得到单段连续可导的位移、速度、加速度、加 加速度拟合曲线，但多段拟合曲线之间连接处，只有位移是连续可导的，速度连续不可 导，加速度、加加速度等出现跳跃，如果能够解决拟合曲线关键点连接处的跳跃问题， 就可以得到多段连续可导的位移、速度、加速度、加加速度拟合曲线，这将非常有利于 提尚delta机器人的控制性能。
该五次样条函数数学模型如公式（3-6)所不，其中/〇)，/(x)，/(x)，/(x)，/(x)， 分别表示关节空间内关节角位移、速度、加速度、加加速度以及加加速度的一阶导数， x表示每段拟合曲线段首尾的时间差。
为了使每段关节空间内关节角位移、速度、加速度、加加速度的拟合曲线在关键点 连接处连续可导，需要建立合理的边界条件。delta两自由度高速并联工业机器人有两 个驱动关节输入量，现只对左驱动关节的边界条件进行阐述，右驱动关节的边界条件与 左驱动关节相同，不同之处在于，由11个工作空间关键点经过运动学逆解转换得到的 关节空间内的11关键点的数值不同。根据已经给定的左驱动关节的已知量和每段拟合 曲线的边界条件建立如下方程式。
拟合曲线0*方程式：
系数矩阵ai/rw,通过计算得到了左驱动关节拟合曲线的系数矩阵a,即得到了 左驱动关节从关键点0到关键点10的拟合曲线，同理可得到左驱动关节从关键点10到 关键点0的拟合曲线，右驱动关节的曲线拟合方法与左驱动关节类似，这里不再赘述。
3.4.3动力学轨迹优化模型
在第一章绪论中己经提到了同济大学的李万莉等人，采用五次样条函数对机器人进 行轨迹规划，但其约束条件过多，导致了关键点连接处拟合曲线的速度、加速度、加加 速度不可导的问题，上一小节的“运动学五次样条函数模型”已经成功解决了这一问题， 但李万莉等人的轨迹规划还存在一些缺点，也是很多轨迹规划论文存在的问题，即没有 进行动力学的轨迹优化，这样会导致一个工作循环内驱动电机力矩、功率的峰值大小相 差较大，在驱动电机确定的情况下，这将不利于提高机器人的运行速度和精度，换句话 说，驱动电机的动力学性能没有*的发挥出来。为了使得delta机器人具有良好的动 力学性能，在delta机器人轨迹规划过程中，加入了第二章所述的动力学模型。
将动力学模型加入到轨迹规划中的主要目的是，在不改变机器人机械结构尺寸的情 况下，尽量降低机器人所需驱动电机的力矩和功率。这样，在不更换己有驱动电机的情 况下，就可以提高机器人整体的运行速度和精度。
公式（3-12)说明了，外力矩是驱动关节角位移、速度和加速度的函数。因为/(x), /(x), /(x)是时间的函数，由此，推导出广义关节作用力r和功率/^也是时间的函数, 公式（3-12)是驱动力矩的动力学时间方程。在得到动力学的时间方程后，选择关节空 间内角速度（一个工作循环的时间作为动力学的优化目标。
进行动力学轨迹优化的目标有两个：一是在不增加驱动力矩和功率的情况下，尽量 缩短一个工作循环的周期，即驱动电机确定，尽量增加机器人的运行速度；二是在不改 变一个工作循环周期的情况下，尽量降低驱动力矩和功率，即在机器人的运行速度不变 的情况下，尽量降低所需驱动电机的力矩和功率。在大多数情况下，纯粹对时间周期的 优化几乎不能求解，因此，将时间周期设为常数1,即机器人运行一个循环所需时间是 1秒钟，并将驱动电机的力矩和功率作为动力学优化的目标。
一般情况下，功率的优化和力矩的优化是互相矛盾的，即将力矩优化到数值， 可能会导致功率过大；反之，将功率优化到数值，可能会导致力矩过大。在进行驱 动电机力矩和功率的动力学优化时，需要结合实际的电机参数选取力矩占优还是功率占 优的方式进行动力学优化，并且，在动力学优化过程中，电机的力矩占优还是功率占优 是不断变化的。例如，当机器人开始运行时，由于驱动电机的速度很小，导致驱动电机 的功率很小，相反，为了提高机器人的运行速度、减小每次循环的时间周期，机器人的 驱动电机将以较大的峰值力矩启动，这时驱动电机的峰值力矩将作为动力学优化的主要 目标，即应尽量减小机器人开始运行时的峰值力矩，并使得力矩维持在峰值；当机器人 高速运行时，由于驱动电机的速度很高，导致驱动电机的功率很大，此时，驱动电机的 力矩可能会较小，为了提高机器人的运行速度，此时，驱动电机的功率将作为动力学优 化的主要目标，即应尽量减小驱动电机的峰值功率，并使得机器人高速运行时，驱动电 机的输出功率基本维持在峰值。
delta机器人轨迹规划流程如图3-10所示，其中，判断1为得到的关节空间内拟合 曲线的关节角位移、速度是否没有过冲，速度、加速度、加加速度拟合曲线峰值是否相 差较小；判断2为得到的关节驱动力矩峰值和功率峰值是否相差较小，为了充分利用驱 动电机的性能，应尽量降低每个拟合曲线段内的关节驱动力矩或驱动功率的峰值，并尽 量使驱动力矩或驱动功率维持在峰值附近。以上判别量都是时间的函数，修改每段拟合 曲线的时间即可对运动学和动力学的拟合曲线进行整体优化。
3.4.4轨迹规划曲线分析
根据关节空间内delta机器人的运动学五次样条函数模型和动力学的轨迹优化模型，
编写机器人的python轨迹规划程序，得到的拟合曲线如图3-11, 3-12, 3-13所示。
图3-11中，左右红色和绿色拟合曲线分别为左驱动关节和右驱动关节运动学拟合 曲线，由上至下分别表示驱动关节角位移、速度、加速度和加加速度拟合曲线，由图可 以看出，利用以上运动学五次样条函数模型和动力学轨迹优化模型，得到的delta机器 人的关节空间内拟合曲线的角位移、速度、加速度和加加速度拟合曲线均连续可导，遏 制了由于拟合曲线跳跃而出现机器人振动，甚至共振现象的发生。左右驱动关节的速度 大小均小于8rad/■s■，加速度大小均小于180rafif/52，加加速度大小均小于6000rad//, 速度、加速度、加加速度峰值相差较小，得到的拟合曲线有利于delta机器人实际控制。
图3-12为关节空间拟合曲线通过运动学正解转换到得到的工作空间拟合曲线，左 边红色拟合曲线由上至下分别为末端执行器x方向的位移、速度、加速度拟合曲线，右 边绿色拟合曲线由上至下分别为末端执行器y方向的位移、速度、加速度拟合曲线，从 图中可以看出，末端执行器的位移、速度和加速度拟合曲线均连续可导，可有效减小机 器人末端执行器的振动，并提高其运行速度。末端执行器x方向的速度、加速度大小分 别小于3.2m/x、70m/?，并且，x方向的速度有较长时间维持在峰值附近，这将非常 有利于提高机器人的实际运行速度；；y方向的速度、加速度大小分别小于s.om/s、60 mis1。
利用delta机器人简化的动力学模型，对机器人的运动学轨迹规划拟合曲线进行相 关动力学优化，降低所需驱动电机的峰值力矩和峰值功率，力求每个驱动电机的峰值力 矩、峰值功率大小分别趋于同一数值，并使其维持在峰值附近是动力学优化的终目标。 参考使用的高精度交流伺服直驱力矩电机的基本参数，把力矩优化作为动力学优化的主 要目标，功率优化作为动力学优化的次要目标。图3-13为动力学优化后的所需驱动电机 力矩和功率拟合曲线，左侧红色拟合曲线由上至下分别为左驱动电机的力矩拟合曲线和 功率拟合曲线，由图可以看出拟合曲线的峰值力矩大小小于70w*m，峰值功率大小小 于480vv;右侧绿色拟合曲线由上至下分别为右驱动电机的力矩拟合曲线和功率拟合曲 线，由图中可以看出拟合曲线的峰值力矩大小小于80w_m,峰值功率大小小于500vv。 左右驱动电机的力矩拟合曲线均连续可导，并且两驱动电机的力矩峰值大小相差较小； 左右驱动电机的功率拟合曲线为取值后得到的拟合曲线，实际上，在取值之前, 左右驱动电机的功率拟合曲线也是连续可导的拟合曲线，并且两拟合曲线的峰值相差较小，绿色右驱动电机的拟合曲线有较长时间维持在峰值附近，电机的功率得到了充分的利用。
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